|F_2[X], Irreduz., Körpererw. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Fertigen Sie eine vollständige und irredundante Liste der irreduziblen Polynome über [mm] $\mathbb{F}_2$, [/mm] dem Körper mit zwei Elementen, vom Grad kleiner als $5$ an. Begründen Sie Ihre Angaben. Schließen Sie, dass
[mm] $L=\mathbb{F}_2/(X^4+X+1)$ [/mm]
ein Erweiterungskörper von [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] ist. Was ist der Grad $[L : [mm] \mathbb{F}_2]$? [/mm] Listen Sie alle Elemente von $L$ auf, und bestimmen Sie alle Unterkörper von $L$. |
Hallo mal wieder,
ich glaube ich habe immer noch ein paar Probleme mit Polynomringen und Körpererweiterungen. Deswegen hänge ich in der Aufgabe fest. Bis jetzt habe ich Folgendes:
Vollständige und irredundante Liste der irreduziblen Polynome über [mm] $\mathbb{F}_2$: [/mm]
$X$ und $X+1$ sind natürlich irreduzibel, da ja linear
Bei den anderen Polynomen bin ich mir nicht sicher, wie ich vernünftig begründen kann, dass sie irreduzibel sind. Sie dürfen ja schon mal keine NST haben, denn sonst könnte ich ja $(X+1)$ oder $X$ ausklammern. Demnach brauche ich immer den konstanten Term $1$ im Polynom, und die Anzahl an $X$ mit positivem Exponenten muss gerade sein, also
[mm] $X^2+X+1$, [/mm]
[mm] $X^3+X+1$, [/mm]
[mm] $X^4+X+1$, [/mm]
[mm] $X^3+X^2+1$, [/mm]
[mm] $X^4+X^3+1$, [/mm]
[mm] $X^4+X^3+X^2+X+1$ [/mm]
Habe ich nun als Rest (das habe ich auch so woanders gefunden), aber [mm] $X^4+X^2+1$ [/mm] würde ja auch meine Kriterien erfüllen, aber es gilt ja [mm] $X^4+X^2+1=(X^2+X+1)^2$, [/mm] also ist [mm] $X^4+X^2+1$ [/mm] nicht irreduzibel… Ich könnte hier ein bisschen Hilfe beim Argumentieren gebrauchen…
Da [mm] $X^4+X+1$ [/mm] ja irreduzibel ist, auch wenn ich es (noch) nicht wirklich gezeigt/begründet habe, ist damit $L$ ein Körper und damit [mm] $L/\mathbb{F}_2$ [/mm] Körpererweiterung. Stimmt das so? Reicht das als Argument?
Zum Grad [mm] $[L:\mathbb{F}_2]$ [/mm] (Gradsatz):
[mm] $[L:\mathbb{F}_2]=[L:\mathbb{F}_2[X]]\cdot [\mathbb{F}_2[X]:\mathbb{F}_2]=\deg(X^4-X-1)\cdot \dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] [/mm] = [mm] 4\cdot \dots$ [/mm]
Müsste jetzt nicht [mm] $\dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] gelten, und damit [mm] $[L:\mathbb{F}_2]=\infty$? [/mm] Das sieht irgendwie falsch aus.
Zu den Elementen von $L$: Hier habe ich einfach [mm] $L=\left\{ [f] \mid f\in\mathbb{F}_2[X], \deg f \leqslant 3\right\}$ [/mm] Damit komme ich auf [mm] $16=2^{\deg(X^4+X+1)}$ [/mm] Elemente, was laut Internet zumindest die richtige Anzahl sein sollte. Ist wirklich nur das gemeint?
Zu den Unterkörpern: Hier habe ich irgendwie gar keine Ahnung, was ich hier überhaupt machen soll. Wahrscheinlich ist das eigentlich vollkommen trivial. Ich habe in LA nur nie groß mit Faktor-Gruppen/Ringen/… herumgerechnet, deswegen bewege ich mich da auf sehr glattem und dünnem Eis und habe deswegen auch im Moment keine Ahnung, wie es hier weitergehen soll. Ich sollte vielleicht mal LA wiederholen, da liegt nämlich auch noch anderes im Argen…
Ich hoffe, ihr könnt mir hier irgendwie aushelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Di 02.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Fertigen Sie eine vollständige und irredundante Liste der
> irreduziblen Polynome über [mm]\mathbb{F}_2[/mm], dem Körper mit
> zwei Elementen, vom Grad kleiner als [mm]5[/mm] an. Begründen Sie
> Ihre Angaben. Schließen Sie, dass
>
> [mm]L=\mathbb{F}_2/(X^4+X+1)[/mm]
>
> ein Erweiterungskörper von [mm]\mathbb{F}_2[/mm] ist. Was ist der
> Grad [mm][L : \mathbb{F}_2][/mm]? Listen Sie alle Elemente von [mm]L[/mm]
> auf, und bestimmen Sie alle Unterkörper von [mm]L[/mm].
> Hallo mal wieder,
> ich glaube ich habe immer noch ein paar Probleme mit
> Polynomringen und Körpererweiterungen. Deswegen hänge ich
> in der Aufgabe fest. Bis jetzt habe ich Folgendes:
>
> Vollständige und irredundante Liste der irreduziblen
> Polynome über [mm]\mathbb{F}_2[/mm]:
>
> [mm]X[/mm] und [mm]X+1[/mm] sind natürlich irreduzibel, da ja linear
> Bei den anderen Polynomen bin ich mir nicht sicher, wie ich
> vernünftig begründen kann, dass sie irreduzibel sind. Sie
> dürfen ja schon mal keine NST haben, denn sonst könnte
> ich ja [mm](X+1)[/mm] oder [mm]X[/mm] ausklammern. Demnach brauche ich immer
> den konstanten Term [mm]1[/mm] im Polynom, und die Anzahl an [mm]X[/mm] mit
> positivem Exponenten muss gerade sein, also
>
> [mm]X^2+X+1[/mm],
> [mm]X^3+X+1[/mm],
> [mm]X^4+X+1[/mm],
> [mm]X^3+X^2+1[/mm],
> [mm]X^4+X^3+1[/mm],
> [mm]X^4+X^3+X^2+X+1[/mm]
>
> Habe ich nun als Rest (das habe ich auch so woanders
> gefunden), aber [mm]X^4+X^2+1[/mm] würde ja auch meine Kriterien
> erfüllen, aber es gilt ja [mm]X^4+X^2+1=(X^2+X+1)^2[/mm], also ist
> [mm]X^4+X^2+1[/mm] nicht irreduzibel… Ich könnte hier ein
> bisschen Hilfe beim Argumentieren gebrauchen…
Dein Kriterium ist eben nur notwendig, aber nicht hinreichend. Deine Vorgehensweise ist prinzipiell richtig. Man koennte alternativ auch die reduziblen Polynome finden: der Rest sind dann die irreduziblen. Dies gelingt ganz gut, weil die reduziblen Polynome notwendig die Produkte der irreduziblen geringeren Grades sind. Z.B. sind die reduziblen Polynome von Grade $2$ genau [mm] $X^{2}, [/mm] X(X+1)$ und [mm] $(X+1)^{2}$, [/mm] alle anderen Polynome vom Grade $2$ sind irreduzibel. Damit lassen sich die reduziblen Polynome vom Grade $3$ bilden etc.
>
> Da [mm]X^4+X+1[/mm] ja irreduzibel ist, auch wenn ich es (noch)
> nicht wirklich gezeigt/begründet habe, ist damit [mm]L[/mm] ein
> Körper und damit [mm]L/\mathbb{F}_2[/mm] Körpererweiterung. Stimmt
> das so? Reicht das als Argument?
Ja.
>
> Zum Grad [mm][L:\mathbb{F}_2][/mm] (Gradsatz):
>
> [mm][L:\mathbb{F}_2]=[L:\mathbb{F}_2[X]]\cdot [\mathbb{F}_2[X]:\mathbb{F}_2]=\deg(X^4-X-1)\cdot \dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] = 4\cdot \dots[/mm]
>
> Müsste jetzt nicht [mm]\dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] = \infty[/mm]
> gelten, und damit [mm][L:\mathbb{F}_2]=\infty[/mm]? Das sieht
> irgendwie falsch aus.
Ja, das ist falsch. Schau Dir die Voraussetzungen der Gradformel an.
>
> Zu den Elementen von [mm]L[/mm]: Hier habe ich einfach [mm]L=\left\{ [f] \mid f\in\mathbb{F}_2[X], \deg f \leqslant 3\right\}[/mm]
> Damit komme ich auf [mm]16=2^{\deg(X^4+X+1)}[/mm] Elemente, was laut
> Internet zumindest die richtige Anzahl sein sollte. Ist
> wirklich nur das gemeint?
Im Grunde, ja. Genau genommen enthaelt die Faktorstruktur Restklassen, keine Polynome. Aber Deine Polynome bilden ein vollstaendiges Repraesentantensystem.
>
> Zu den Unterkörpern: Hier habe ich irgendwie gar keine
> Ahnung, was ich hier überhaupt machen soll.
Alle Teilkoerper finden. Was genau ist Deine Frage?
> Wahrscheinlich
> ist das eigentlich vollkommen trivial. Ich habe in LA nur
> nie groß mit Faktor-Gruppen/Ringen/… herumgerechnet,
> deswegen bewege ich mich da auf sehr glattem und dünnem
> Eis und habe deswegen auch im Moment keine Ahnung, wie es
> hier weitergehen soll. Ich sollte vielleicht mal LA
> wiederholen, da liegt nämlich auch noch anderes im
> Argen…
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir hier irgendwie aushelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 02.12.2014 | | Autor: | Lustique |
Hallo
> Dein Kriterium ist eben nur notwendig, aber nicht
> hinreichend. Deine Vorgehensweise ist prinzipiell richtig.
> Man koennte alternativ auch die reduziblen Polynome finden:
> der Rest sind dann die irreduziblen. Dies gelingt ganz gut,
> weil die reduziblen Polynome notwendig die Produkte der
> irreduziblen geringeren Grades sind. Z.B. sind die
> reduziblen Polynome von Grade [mm]2[/mm] genau [mm]X^{2}, X(X+1)[/mm] und
> [mm](X+1)^{2}[/mm], alle anderen Polynome vom Grade [mm]2[/mm] sind
> irreduzibel. Damit lassen sich die reduziblen Polynome vom
> Grade [mm]3[/mm] bilden etc.
Ja, danke. Dann werde ich wohl noch ein bisschen mehr rechnen müssen.
> >
> > Zum Grad [mm][L:\mathbb{F}_2][/mm] (Gradsatz):
> >
> > [mm][L:\mathbb{F}_2]=[L:\mathbb{F}_2[X]]\cdot [\mathbb{F}_2[X]:\mathbb{F}_2]=\deg(X^4-X-1)\cdot \dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] = 4\cdot \dots[/mm]
> >
> > Müsste jetzt nicht [mm]\dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] = \infty[/mm]
> > gelten, und damit [mm][L:\mathbb{F}_2]=\infty[/mm]? Das sieht
> > irgendwie falsch aus.
> Ja, das ist falsch. Schau Dir die Voraussetzungen der
> Gradformel an.
Ist [mm] $\mathbb{F}_2\subseteq \mathbb{F}_2[X] \subseteq [/mm] L$ falsch? Oder ist eine der Mengen kein Körper? Das sind nämlich für unsere Version des Gradsatzes die einzigen Voraussetzungen. Ich zitiere:
Seien [mm] $K\subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] M$ Körper. Dann
[mm] $[M:K]=[M:L]\cdot [/mm] [L:K]$
> >
> > Zu den Elementen von [mm]L[/mm]: Hier habe ich einfach [mm]L=\left\{ [f] \mid f\in\mathbb{F}_2[X], \deg f \leqslant 3\right\}[/mm]
> > Damit komme ich auf [mm]16=2^{\deg(X^4+X+1)}[/mm] Elemente, was laut
> > Internet zumindest die richtige Anzahl sein sollte. Ist
> > wirklich nur das gemeint?
> Im Grunde, ja. Genau genommen enthaelt die Faktorstruktur
> Restklassen, keine Polynome. Aber Deine Polynome bilden ein
> vollstaendiges Repraesentantensystem.
Es ist also auch richtig, dass ich alle Polynome höchstens 3. Grades als Repräsentantensystem benutze? Mit $[f]$ war übrigens die Restklasse zu $f$ gemeint, falls das nicht klar war.
> > Zu den Unterkörpern: Hier habe ich irgendwie gar keine
> > Ahnung, was ich hier überhaupt machen soll.
> Alle Teilkoerper finden. Was genau ist Deine Frage?
Meine Frage ist, wie ich das am besten angehe. Kann ich hier einfach nur ausprobieren? Also erstmal alle Elemente angucken, und überprüfen, ob die Menge aus nur diesem Element schon einen Körper bildet, und dann andere Elemente dazu nehmen, und wieder auf Körper testen, etc. pp. Ich könnte mir vorstellen, dass ich da irgendwie eine Struktur bekomme, die mit der Irreduzibilität einzelner Repräsentanten zusammenhängt, aber sonst habe ich noch keine Idee. Und so, wie die Aufgaben bis jetzt gestellt wurden, denke ich nicht, dass es sich hier um eine reine „Fleißaufgabe“ handelt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 02.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo
>
> > Dein Kriterium ist eben nur notwendig, aber nicht
> > hinreichend. Deine Vorgehensweise ist prinzipiell richtig.
> > Man koennte alternativ auch die reduziblen Polynome finden:
> > der Rest sind dann die irreduziblen. Dies gelingt ganz gut,
> > weil die reduziblen Polynome notwendig die Produkte der
> > irreduziblen geringeren Grades sind. Z.B. sind die
> > reduziblen Polynome von Grade [mm]2[/mm] genau [mm]X^{2}, X(X+1)[/mm] und
> > [mm](X+1)^{2}[/mm], alle anderen Polynome vom Grade [mm]2[/mm] sind
> > irreduzibel. Damit lassen sich die reduziblen Polynome vom
> > Grade [mm]3[/mm] bilden etc.
>
> Ja, danke. Dann werde ich wohl noch ein bisschen mehr
> rechnen müssen.
>
> > >
> > > Zum Grad [mm][L:\mathbb{F}_2][/mm] (Gradsatz):
> > >
> > > [mm][L:\mathbb{F}_2]=[L:\mathbb{F}_2[X]]\cdot [\mathbb{F}_2[X]:\mathbb{F}_2]=\deg(X^4-X-1)\cdot \dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] = 4\cdot \dots[/mm]
> > >
> > > Müsste jetzt nicht [mm]\dim_{\mathbb{F}_2}\mathbb{F}_2[X] = \infty[/mm]
> > > gelten, und damit [mm][L:\mathbb{F}_2]=\infty[/mm]? Das sieht
> > > irgendwie falsch aus.
> > Ja, das ist falsch. Schau Dir die Voraussetzungen der
> > Gradformel an.
>
> Ist [mm]\mathbb{F}_2\subseteq \mathbb{F}_2[X] \subseteq L[/mm]
> falsch? Oder ist eine der Mengen kein Körper? Das sind
> nämlich für unsere Version des Gradsatzes die einzigen
> Voraussetzungen. Ich zitiere:
>
> Seien [mm]K\subseteq L \subseteq M[/mm] Körper. Dann
> [mm][M:K]=[M:L]\cdot [L:K][/mm]
Sag' Du es mir: Welches der drei Objekte ist kein Koerper?
>
> > >
> > > Zu den Elementen von [mm]L[/mm]: Hier habe ich einfach [mm]L=\left\{ [f] \mid f\in\mathbb{F}_2[X], \deg f \leqslant 3\right\}[/mm]
> > > Damit komme ich auf [mm]16=2^{\deg(X^4+X+1)}[/mm] Elemente, was laut
> > > Internet zumindest die richtige Anzahl sein sollte. Ist
> > > wirklich nur das gemeint?
> > Im Grunde, ja. Genau genommen enthaelt die Faktorstruktur
> > Restklassen, keine Polynome. Aber Deine Polynome bilden ein
> > vollstaendiges Repraesentantensystem.
>
> Es ist also auch richtig, dass ich alle Polynome höchstens
> 3. Grades als Repräsentantensystem benutze? Mit [mm][f][/mm] war
> übrigens die Restklasse zu [mm]f[/mm] gemeint, falls das nicht klar
> war.
Die Klammern habe ich uebersehen. Damit solltest Du die Aufgabe zufriedenstellend geloest haben.
>
> > > Zu den Unterkörpern: Hier habe ich irgendwie gar keine
> > > Ahnung, was ich hier überhaupt machen soll.
> > Alle Teilkoerper finden. Was genau ist Deine Frage?
>
> Meine Frage ist, wie ich das am besten angehe. Kann ich
> hier einfach nur ausprobieren? Also erstmal alle Elemente
> angucken, und überprüfen, ob die Menge aus nur diesem
> Element schon einen Körper bildet, und dann andere
> Elemente dazu nehmen, und wieder auf Körper testen, etc.
> pp. Ich könnte mir vorstellen, dass ich da irgendwie eine
> Struktur bekomme, die mit der Irreduzibilität einzelner
> Repräsentanten zusammenhängt, aber sonst habe ich noch
> keine Idee. Und so, wie die Aufgaben bis jetzt gestellt
> wurden, denke ich nicht, dass es sich hier um eine reine
> „Fleißaufgabe“ handelt.
Naja, wenn Du keine bessere Idee hast, dann kannst Du es so machen. Eine schlechte Loesung ist das nicht. Wenn Du noch an den Gradsatzt denkst, dann siehst Du auch, dass nur ganz wenige Dimensionen fuer die Teilkoerper moeglich sind und damit die ganze Sache nicht besonders aufwendig wird. Je nach dem, was Du bereits ueber endliche Koerper weisst, wird die Liste der Teilkoerper schnell sehr kurz.
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